Da shell si può fare, per esempio, così:
mysqldump --add-drop-table -h localhost -u nomeutente -p nomedatabase |zip -c >backup.zip
Vi verrà chiesta la password del database. Se la digiterete correttamente, il database verrà salvato, compresso, in backup.zip, che troverete nella cartella in cui state lavorando.
Naturalmente, dovrete inserire i valori appropriati al posto di "nomeutente" e "nomedatabase".
Per ulteriori informazioni: man mysqldump